ESTADÍSTICA
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Media (media aritmética)
La media es el valor que se obtiene al sumar todos los datos y dividir el resultado entre la cantidad
de datos. Su fórmula es la siguiente:
Ejemplo : Calcular la media de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.
Mediana
La mediana es el valor que ocupa la posición central cuando todos los datos están ordenados en
orden creciente o decreciente. La mediana se representa con las letras: Me.
Ejemplo cuando los datos son impares:
Calcular la mediana de los siguientes datos: 11, 6, 7, 7, 4.
Solución: Ordenamos los datos de menor a mayor: 4, 6, 7, 7, 11.
Ahora tomamos el dato que se encuentra al centro: 4, 6, 7, 7, 11.
El valor de la mediana es: Me = 7.
Ejemplo cuando los datos son pares: Calcular la mediana de los siguientes datos:
3, 6, 7, 9, 4, 4. Solución:Primero ordenamos los datos de menor a mayor: 3, 4, 4, 6, 7, 9.
La cantidad de datos es 6, es decir, un número par, así que vamos a ubicar los 2 valores centrales:
3, 4, 4, 6, 7, 9.
Entonces, la mediana seria entre entre 4 y 6:
Moda
La moda es el valor que más se repite. También podemos decir que la moda es el valor con mayor frecuencia absoluta o el valor que ocurre con más frecuencia. La moda se representa con las letras: Mo. Ejemplo: En un examen calificado del 0 al 10, 3 personas obtuvieron 5 de nota, 5 personas obtuvieron 4 de nota, y 2 personas obtuvieron 3 de nota. Calcular la moda. Solución: Los datos son los siguientes: 5, 5, 5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3. El valor que más se repite es el 4, que aparece 5 veces, por lo tanto, Mo = 4. Para una mejor comprensión te invito a ver el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=jiceVfALmV0&t=14s
Medidas de dispersión Las medidas de dispersión tratan, a través del cálculo de diferentes fórmulas, de arrojar un valor numérico que ofrezca información sobre el grado de variabilidad de una variable. En otras palabras, las medidas de dispersión son números que indican si una variable se mueve mucho, poco, más o menos que otra. La razón de ser de este tipo de medidas es conocer de manera resumida una característica de la variable estudiada. En este sentido, deben acompañar a las medidas de tendencia central. Juntas, ofrecen información de un sólo vistazo que luego podremos utilizar para comparar y, si fuera preciso, tomar decisiones. Principales medidas de dispersión Las medidas de dispersión más conocidas son: el rango, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
Rango
El rango es un valor numérico que indica la diferencia entre el valor máximo y el mínimo de una
población o muestra estadística. Su fórmula es:
Donde: R → Es el rango.
Máx → Es el valor máximo de la muestra o población.
Mín → Es el valor mínimo de la muestra o población estadística.
x → Es la variable sobre la que se pretende calcular esta medida.
Para ello, no es necesario ordenar los valores de mayor a menor o viceversa. Si sabemos cual son
los números con mayor y menor valor, tan sólo tendremos que aplicar la fórmula.
Ejemplo: Supongamos que se mide la estatura de un grupo de 25 estudiantes varones del primer
año de ingeniería en una universidad. El estudiante más alto del grupo mide 1.93 m y el más bajo
1.67 m. Estos son los valores extremos de los datos de la muestra, por lo tanto el recorrido de los
mismos es: R = 1.93 - 1.67 m = 0.26 m o 26 cm.
Varianza
La varianza es una medida de dispersión que representa la variabilidad de una serie de datos respecto a su media. Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. Su fórmula es la siguiente:
X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
xi → Observación número i de la variable X. Si puede tomará valores entre 1 y n.
N → Número de observaciones.
x̄→ Es la media de la variable X.
Ejemplo: Hallar la varianza de los siguientes datos:2, 3, 6, 8, 11
Primero hallamos la media
Luego calculamos la varianza.
Desviación típica
La desviación típica es otra medida que ofrece información de la dispersión respecto a la media.
Su cálculo es exactamente el mismo que la varianza, pero realizando la raíz cuadrada de su
resultado. Es decir, la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
xi → Observación número i de la variable X. i puede tomará valores entre 1 y n.
N → Número de observaciones.
x̄→ Es la media de la variable X.
Ejemplo: Hallar la desviación típica de los siguientes datos:2, 3, 6, 8, 11
Coeficiente de variación
Su cálculo se obtiene de dividir la desviación típica entre el valor absoluto de la media del conjunto
y por lo general se expresa en porcentaje para su mejor comprensión.
X → Variable sobre la que se pretenden calcular la varianza
σx → Desviación típica de la variable X.
| x̄ | → Es la media de la variable X en valor absoluto con x̄ ≠ 0
En ocasiones, necesitamos comparar la variabilidad o dispersión de dos conjuntos de datos, sin
embargo, al hacerlo, puede que ambos conjuntos estén expresados en diferentes unidades de
medida (por ejemplo, uno en metros, otro en litros), por lo tanto, no se podrán comparar sus
varianzas o desviaciones estándar. También puede darse el caso de que estén expresados en la
misma unidad de medida, pero nos interesa determinar la variación respecto a una base. Para
estos casos, se utiliza el coeficiente de variación.
Ejemplo : Una población de alumnas tiene una estatura media de 160 cm con una desviación
estándar de 16 cm. Estos mismas alumnas, tienen un peso medio de 70 kg con una desviación
estándar de 14 kg. ¿Cuál de las 2 variables presenta mayor variabilidad relativa?
Solución:
Vamos a comparar la dispersión de 2 variables, la estatura y el peso, usando el coeficiente de
variación.
Podemos ver que CVP > CVE , por eso, el peso de esta población de alumnas tiene mayor variabilidad relativa que la estatura. Si deseas puedes aclarar dudas con el video:
https://www.youtube.com/watch?v=YTVppVzrN7U&t=32s
ACTIVIDAD
Lee la teoría y realiza los siguientes ejercicios:
1. ¿ Hallar la media, la mediana, y la moda? En un grupo de chicas adolescentes son investigadas cuántas veces entra Facebook en el día se presentan las siguientes datos: 3 , 5 , 4 , 8 , 8 , 8 , 5 , 6 , 7 , 9 , 5 , 7 , 4 , 4 , 7 , 8 número de datos 16
2. Las alturas (en centímetros) de los 10 alumnas de una clase son 178, 163, 155, 159, 171, 155,
172, 170, 159 y 163. Hallar la media la mediana y elaborar una tabla de frecuencia.
3. El profesor de gimnasia anotó el número de goles que marcaron sus 50 alumnos:
a. Representar la gráfica de barras con número de alumnos en función del número de goles que
marcaron.
b. Calcular la media, moda y mediana del número de goles.
c. ¿Cuántos alumnos marcaron un número de goles menor que la mediana? ¿Y mayor?
4 Hallar la media, la varianza y la desviación típica de la series de números : 12,6,7,3,15,10,18,5.